理数ラボ | お役立ちサイト なびぽ 尾張旭・瀬戸・長久手

高校の数学をメインに指導してますが、数学検定とか私立中学受験の算数も少し指導したりしてます。

昨日、生徒さんのお母さんから灘中の算数の過去問の写真を送っていただいたので早速解いてみました。

複雑な展開図からどのような立体になるのかを考えて体積をもとめる問題でした。
さすが天才の集まる灘中だけあって難問でした。

私がどのように考えたのか、その要点だけ徒然なるままに書いておきます。

まず展開図を眺めると面が9枚でした。
その内訳は、正方形が1枚と二等辺三角形が4枚とひし形が4枚でした。
こういった問題を解くときの自分で見つけ出したコツを使って熟考の末に、正方形の周りに二等辺三角形をくっつけて、正方形を底辺として周りにくっついている二等辺三角形を立ててみた見取り図を描いてみました。
さらに、正方形の周りに立っている二等辺三角形と二等辺三角形の隙間にひし形4枚を挟むことを思いつきました。

これらが立体になるのなら、ひし形の4枚が錐のようにてっぺんでくっつくんだろうな…というところまでは想像できますよね。

ただ、底面になる正方形の周りにくっついている二等辺三角形が側面ということになるのですが、

『その二等辺三角形が底面の正方形に対して垂直に立っているのかどうかを理詰めで考えないといけないな…』

『だいたいこの手の問題はむずかしそうに見せておいて、実は変形したらめちゃくちゃ簡単な立体になるのが相場だろうな…』

ここで、問題文にはできあがった立体の高さが8㎝、正方形の1辺が6㎝、二等辺三角形の2辺が5㎝、ひし形の1辺が5㎝という条件と、もうひとつ3㎝4㎝5㎝の三角形は直角三角形になるという条件を使うように書いてありました。

【3㎝4㎝5㎝の三角形が直角三角形になるのを使ってよい】

なんて明らかに怪しい…というか絶対使うんだろうな…ですよね笑

中学3年生が高校入試でよく使う中点連結定理から計算して高さが4㎝になるので、やはり側面になる二等辺三角形はそれぞれ底面の正方形に対して垂直になることが正しいことが証明されました！


★長々と書き連ねましたが、私がお伝えしたかった要点は

【計算して実際の長さから垂直に立っていることを確かめるパターンも存在する】

という問題もあるのが新鮮だと感じました！


垂直に立っているときは、

【任意の2辺と垂直になっているのを確かめる】

のが基本の考え方なのですが、やはりいろんな問題を解いて経験を積むことの重要性を再認識しました。