理数ラボ | お役立ちサイト なびぽ 尾張旭・瀬戸・長久手

b=a＋1と置きます。
aとa＋1は互いに素です。
a＋1をa で割ると1あまるからです。

★互いに素であれば互いの数字で割ろうとしても割り切れないはずなので…

与えられた式にb=a＋1を代入して変形すると
2a(a＋1)=(n＋1)(n−1)となり、左辺は明らかに偶数である。
ゆえに【右辺も偶数】にならなければならない。
(n＋1)(n−1)は【偶数×偶数】または【奇数×奇数】のどちらかしかないので、【積が偶数だから偶数×偶数】となる。
ゆえにnは奇数であることがわかる。

★n＋1やn−1が偶数になるとき、nは奇数でないとおかしいですよね…

元の式に戻って考えると、奇数の二乗は奇数であり、偶数の二乗は偶数で、奇数＋偶数は奇数となるので、aとbはどちらかが偶数なら必ずどちらかが奇数といえる。


★補足
もともとの問題文に
aの二乗＋bの二乗＝nの二乗
という関係が成り立っていると書かれています。