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n＋aとn−aが互いに素でないと仮定して(n＋a)も(n−a)もkの倍数ということになる。
つまり、【aはkの倍数】である。

ここで、(n＋a)をkm、(n−a)をknとおく。mとnは互いに素な【整数】とする。

これらを代入して変形すると、
b/kの二乗＝mnという式になり、
右辺は整数なので左辺も整数のはずなので、【bはkの倍数】でなければならない。
aとbが互いに素に矛盾する。

★aもkの倍数でbもkの倍数であれば、aとb の公約数が存在することになりaとbは互いに素でなくなってしまいます…

ゆえに、(n＋a)と(n−a)は互いに素であるといえる。


★補足
もともと、問題文に
aとbは互いに素とする
って書かれています。
題意に矛盾するということです。